Annexe 2 : Résistance de rayonnement

Cette annexe présente le calcul du rayonnement en champ lointain d'un piston vibrant.

Nous considérons ici un piston placé dans un écran infini et rayonnant dans un demi-espace infini. Le diamètre du piston est petit devant la longueur d'onde ce qui autorise à supposer un rayonnement omnidirectionnel (indépendant de l'angle d'observation). A une distance grande par rapport à la longueur d'onde et à la taille du piston, l'onde rayonnée peut être considérée comme sphérique.

Dans un demi-espace, la surface du front d'onde augmente avec la distance et vaut .

En champ lointain ( ) la courbure du front d'onde est négligeable : celui-ci devient localement assimilable à une onde plane, et donc . La vitesse étant normale au front d'onde, l'intensité tend ainsi vers une valeur limite . La puissance acoustique à une distance du piston s'écrit alors :

(6)

Selon les hypothèses précédentes, le piston est équivalent à un monopôle rayonnant dans un demi espace infini, et l'amplitude de la pression acoustique à grande distance peut s'écrire en fonction de son débit

(7)

L'introduction de l'équation (7) dans (6) conduit ainsi à l'expression de la puissance acoustique à la distance

(8)

La puissance acoustique est constante dès lors que la distance considérée est suffisamment grande. Cette valeur limite est la puissance rayonnée, supposée absorbée par le milieu (condition de Sommerfeld).

Considérant un piston de section petit devant la longueur d'onde et placé dans un écran in ni, la puissance acoustique qu'il rayonne s'écrit :

, (9)

où et sont la pression et la vitesse en un point du piston. Dans l'hypothèse où la vitesse est uniforme et normale au piston, il vient

(10)

Ce calcul fait apparaître la pression moyenne sur la surface , grandeur globale qui découle ici de l'expression de la puissance. Elle est reliée au débit par une impédance qui traduit la réaction du millieu extérieur sur le piston : . Cette impédance est donc l'impédance de rayonnement.

La pression sur le disque reflète deux phénomènes : le rayonnement en champ lointain d'une part, et l'inertie excédentaire liée à la réorganisation de la vitesse acoustique pour passer d'une répartition uniforme sur le piston à une répartition sphérique à grande distance (champ proche, assimilable à une masse). La puissance rayonnée par le piston correspond ainsi à la partie réelle la puissance calculée à la surface du piston, liée à la partie réelle de l'impédance de rayonnement :

(11)

L'égalité de la puissance acoustique rayonnée par la surface du piston et de la puissance acoustique calculée en champ lointain d'une source monopolaire quelconque conduit à

(12)

Ceci permet d'en déduire la partie réelle de l'impédance de rayonnement

(13)

Le facteur au dénominateur de l'expression de correspond à l'angle solide de rayonnement, c'est-à-dire à l'angle solide sur lequel est intégrée l'intensité acoustique pour le calcul de la puissance en champ lointain. Dans le cas d'une source encastrée dans un écran infini, cet angle solide est limité à la moitié d'une sphère, soit .

Si le piston rayonnait dans un espace infini (angle solide de au lieu de ), la partie réelle de l'impédance de rayonnement s'écrirait :

(14)

Cette dépendance exprime que la réaction du milieu au rayonnement acoustique augmente lorsque l'angle solide où est "concentrée" la puissance diminue. Ainsi la directivité d'une source contribue à augmenter la puissance qu'elle rayonne, en plus de concentrer celle-ci dans une plus petite partie de l'espace.

L'expression de est valide pour toute petite source encastrée. Il est intéressant de l'analyser dans le cas d'un piston circulaire de rayon (d'où ), en revenant au rapport exprimé en moyenne sur la surface :

(15)

Le terme correspond à une onde plane, et serait la valeur de dans le cas d'un guide d'onde de longueur infinie. Le facteur exprime la variation avec la fréquence de la puissance rayonnée, il est appelé efficacité de rayonnement du piston, très faible tant que celui-ci est petit par rapport à la longueur d'onde ( ).

Un calcul analogue (mais plus complexe) aux hautes fréquences donnerait comme limite (onde plane).

Ces deux tendances asymptotiques sont très générales.